PERT y CPM: Introducción

• PERT (Técnica de Evaluación y Revisión de Programas): Se desarrolló en la década de 1950 como herramienta para la planificación, programación y control de actividades asociadas a un proyecto. Fue creado por la oficina de proyectos especiales de la Armada de los Estados Unidos en 1958, como herramienta gerencial para programar y controlar el proyecto del misil Polaris.
• CPM (Método de Ruta Crítica): Se refiere básicamente a los intercambios entre el costo de un proyecto y su fecha de terminación. Fue desarrollado por J.E. Kelly de Remington – Rand y M. R. Walker de Du Pont en 1957 para ayudar en la programación de cierres de mantenimiento en plantas de procesamientos químicos.

Programación de Ruta Crítica

Un proyecto debe tener:

• Funciones o tareas bien definidas cuya terminación señale el fin del proyecto.
• Funciones o tareas independientes. Pueden ser iniciadas, detenidas y realizadas por separado dentro de una secuencia determinada.
• Las funciones o tareas son ordenadas en una secuencia determinada.

CPM con Estimación Simple de Tiempo

Definiendo Actividades

Una actividad es una acción operativa que debe tener las siguientes características:

• Específica
• Vinculada al tiempo (Inicio – Fin – Duración)
• Vinculada al costo
• Administrable (posibilidad de establecer % de avance)
• Asignable (posibilidad de nombrar un responsable)

Son necesarias para lograr el componente, resultado u objetivo de nivel inmediatamente superior.

Construcción de Redes de Planeación

Reglas para Construir la Red de Planeación

• Comience la red con un nodo que se llama INICIO y finalice con un nodo que se llama FIN.
• Comience la construcción con las actividades que no tengan predecesoras inmediatas y vaya armando la red usando las convenciones gráficas vistas anteriormente.
• El flujo de la red siempre corre de izquierda a derecha.
• No se admiten retrocesos (flujos hacia atrás) ni retroalimentaciones.
• Toda actividad debe tener al menos una actividad predecesora y al menos una actividad sucesora, es decir, no pueden presentarse nodos de actividades aisladas en la red.
• Cualquier “camino de actividades” que conduzca del INICIO al FIN se llama RUTA DE PROYECTO.
• Se sugiere construir una red por componente.

Técnicas con Base en el Tiempo

Las modalidades básicas de PERT y CPM se concentran en buscar el camino de consumo de tiempo más largo en una red de tareas como base para planear y controlar un proyecto.

• La Ruta Crítica: Es la secuencia más larga de actividades conectadas en la red y se define como la ruta con tiempo de holgura cero.
• El Tiempo de Holgura: Se calcula para cada actividad, este tiempo resulta de la diferencia entre el tiempo último y más temprano que se anticipa para la terminación de una actividad.
• Holgura: Cantidad de tiempo que se puede demorar el inicio de una actividad determinada sin que retrase la terminación del proyecto.

Para determinar el tiempo de holgura hay que calcular cuatro valores en tiempo para cada actividad:

• Inicio Adelantado o Tiempo de Inicio Temprano: Tiempo más temprano posible en que se puede comenzar una actividad.
• Conclusión Adelantada o Tiempo de Terminación Temprano: El tiempo de inicio temprano más el tiempo que se necesita para completar la actividad.
• Inicio Tardío o Tiempo Último de Terminación: El tiempo más tardío en que se puede completar una actividad sin retrasar el proyecto.
• Conclusión Tardía o el Tiempo Último de Inicio: El tiempo último de terminación menos el tiempo que se necesita para completar la actividad.

• Se trabaja de izquierda a derecha: Se toma el mayor valor precedente de la parte superior derecha.
• Se trabaja de derecha a izquierda: Cuando hay actividades paralelas se toma el menor valor precedente de la parte inferior izquierda.

CPM con Tres Estimaciones de Tiempo

Si no resulta confiable una sola estimación del tiempo requerido para terminar una actividad, lo mejor es utilizar tres estimaciones de tiempo y calcular el tiempo esperado (ET).

Procedimiento

• O: Tiempo Optimista: El periodo mínimo razonable en que se puede terminar una actividad.
• M: Tiempo más Probable: La mejor estimación del tiempo requerido.
• P: Tiempo Pesimista: El periodo máximo razonable en el que se terminaría una actividad.

Diagrama de Redes

Diagrama de Flechas

Este método es muy similar al anterior, pero las actividades están colocadas sobre la flecha, siendo los nodos eventos puntuales para interconectar relaciones.

1. Identificar todas las actividades asociadas en el proyecto y sus interrelaciones.
2. Identificar los “predecesores inmediatos” (actividad inmediatamente anterior).
3. Ilustrar en forma gráfica las relaciones (elaboración de una red).

• Antes de que pueda comenzar una actividad todas las precedentes deben haber terminado.
• Las fechas solo indican precedencia lógica.
• Cada flecha (actividad) debe comenzar y terminar con un nodo (evento).
• Ningún par de nodos debe estar conectado por más de una flecha.
• Las flechas deben estar dirigidas de izquierda a derecha.

Diseño o Formulación de Proyectos: Elementos

Programación Lineal

Características

• Modelo matemático abstracto de un problema físico: Requiere el uso de símbolos matemáticos para representar cantidades físicas del problema. → Planteamiento de un problema de programación lineal.
• Modelo de planificación a corto plazo.
• Modelo determinístico: Los parámetros se conocen con certidumbre.
• Modelo estático: No se permiten cambios de los parámetros con el tiempo.
• Modelo normativo: Señala un curso de acción a seguir para alcanzar un objetivo definido.

Condiciones

• Hay un solo objetivo a la vez: Es posible considerar la maximización o minimización de otras cantidades. La maximización de las utilidades se denomina función objetivo del problema.
• Está sujeto a restricciones: Disponibilidad de recursos escasos.
• Proporcionalidad: La función objetivo y las restricciones deben ser proporcionales al nivel de fabricación de cada producto. Debe darse una función lineal.
• Aditividad: El total es igual a la suma de las partes.
• Divisibilidad: No se garantiza que las soluciones sean enteras.
• No negatividad de las variables: No se espera fabricar ˂0.
• Certidumbre de todos los parámetros.

Método Gráfico para Resolver Problemas de Programación Lineal

1. Plantear el problema en términos matemáticos:

• Definir las variables de decisión:

-Fertilizantes de mezcla 5 – 5 – 10 como X1

-Fertilizantes de mezcla 5 – 10 – 5 como X2

• Plantear en términos matemáticos la función objetivo o de utilidad:

Maximizar: Z= 18.5 . X1 + 20 . X2

2. Graficar las restricciones:

• Se grafican las variables de decisión (X1 y X2).
• Se calculan desigualdades por encima del eje X1 y a la derecha del eje X2.
• Como en cualquier relación lineal la desigualdad puede graficarse trazando primero dos puntos.

Calculando las desigualdades:

• Restricción de fosfato: (0.05) X1 + (0.10) X2 ≤ 1800

(0.05) (0) – (0.10) X2 =1800   à X2: 18.000

(0.05) X1 – (0.10) (0) = 1800 à X1: 36.000

3. Graficar la función objetivo: Para graficar la función objetivo es necesario considerar diversos niveles de utilidad. Para maximizar las utilidades se debe encontrar la recta de isoutilidad que esté más alejada del origen, pero que se mantenga en contacto con la región factible.
4. Encontrar el punto con más altas utilidades:

• Los puntos que resultan necesarios considerar para buscar el óptimo son los que se encuentran en la frontera o parte externa de la región factible.
• Los únicos puntos sobre la frontera que se consideran son los que hacen esquina, es decir, los que ocurren en la intersección de dos o más restricciones. Las esquinas se denominan vértices de la región.
• Una solución óptima para un problema de PL siempre ocurre en un vértice de la región factible.

Modelo para Líneas de Espera

Teoría de Líneas de Espera o de Colas (A.K. Erlang, 1910)

Una línea de espera o cola, se forma cuando alguna unidad (persona, máquina, etc.) requiere servicio y este no se proporciona en forma inmediata.

Sistema de líneas de espera: Todos los componentes que conforman un arreglo de líneas de espera: unidades que solicitan el servicio, la línea de espera propiamente dicha, las instalaciones de servicios y las unidades que se retiran después de recibir el servicio.

Aplica en todas las situaciones donde el servicio no se presta de manera inmediata.

Tasa de llegada: Número promedio de llegadas por unidad de tiempo.

Tasa de servicios: Número promedio de unidades que podrían atenderse por unidad de tiempo.

• Se utilizan tres distribuciones de probabilidad:

1. Distribución de Markov: Se utiliza para descubrir ocurrencias aleatorias, aquellas que carecen de memoria acerca de eventos pasados.
2. Distribución Determinística: Los sucesos ocurren en forma constante y sin cambios.
3. Distribución General: Cualquier otra distribución de probabilidad.

Notación de Kendall: A/B/C

• Se sustituye por una letra que denote la distribución de llegada (M=Aleatorio o D=Determinístico).
• Se sustituye por una letra que denote la distribución de llegada.
• Se sustituye por un entero positivo que denote el número de canales de servicio.

M=Distribución de Markov: Se utiliza para describir ocurrencias aleatorias.

D=Determinística

G=General

Consideraciones para las Líneas de Espera M/M/1

• Llegadas aleatorias únicas: Debe haber un solo canal al cual ingresan las unidades que entran una por una.
• Tiempos de servicio aleatorio.
• Existe una situación de servicio estacionario: Debemos investigar las características promedio a largo plazo que presentan cuando el sistema ha alcanzado el estado estacionario (No cuando abre el banco, ni en las horas pico).
• Un solo canal de servicio.
• Población que llega infinita: Existe una población que llega a infinita de entre la cual se originan las llegadas.
• Espacio de espera infinito: Hay un espacio infinito para dar cabida a las llegadas que esperan en la fila.
• Disciplina de servicio: Primero que llega, primero que se atiende.
• No hay rechazo.
• No hay abandono.

Características de Operación de las Líneas de Espera M/M/1

• La tasa promedio de llegadas debe ser menor que la tasa promedio de servicios µ.
• Factor de utilización е: Tiempo promedio que el sistema está ocupado. Número promedio de unidades que están siendo atendidas en cualquier momento.
• Número promedio de unidades que se encuentran en el sistema, ya sea esperando o siendo atendidas. L
• Número promedio de unidades que esperan ser atendidas. Lq

Modelos de Líneas de Espera

• No pretenden resolver problemas, más bien, describen el sistema de líneas de espera a calcular las características de operación de la línea. Por ello son modelos descriptivos más que normativos.
• Son modelos estocásticos: Muchos de los parámetros no se conocen con certidumbre.
• Trabajan con distribuciones de probabilidad.
• Son modelos estáticos y no lineales, dado que se supone que los parámetros no varían con el tiempo y los cambios en las características de operación no son proporcionales a los cambios en los parámetros del problema.

El Sistema de Líneas de Espera

Consiste en filas de espera y en la cantidad de servidores disponibles.

Factores a tener en cuenta en las líneas de espera

• El largo de la fila: -longitud potencial infinita, – capacidad limitada.
• La cantidad de filas: – única- múltiples