1. Ley de Gravitación Universal

Newton estableció en su ley de gravitación universal que dos cuerpos de masas m₁ y m₂ se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros:

F = G (m₁m₂) ⋅ -u_r / r²

• G es la constante de gravitación universal. Su valor no depende del medio en el que se encuentren las masas. Se trata de una fuerza no apantallable.
• El valor de G representa la fuerza con la que se atraen dos masas de 1 kg al situarlas a una distancia de 1 m una de la otra. Su valor es de 6,67 ⋅ 10^-11 N ⋅ m²/kg². El valor de esta constante es tan pequeño que, a menos que una de las masas sea muy grande, las fuerzas de atracción son inapreciables.
• El signo negativo de la expresión vectorial indica el carácter atractivo de las fuerzas.
• El vector u_r indica que la dirección de la fuerza es la de la recta que une las dos masas, esto es, es una fuerza central. Es una fuerza conservativa: el trabajo que realiza no depende de la trayectoria que elijamos, sino de dónde están los puntos inicial y final de dicha trayectoria (todas las fuerzas centrales son conservativas).
• Son fuerzas a distancia, no necesitan un medio material para existir.
• Las fuerzas gravitatorias siempre se presentan a pares. Si un cuerpo m₁ atrae a otro m₂ con una fuerza F, el m₂ atrae al m₁ con una fuerza que es igual en módulo y dirección pero de sentido contrario. Esto es, son fuerzas de acción y reacción.

Características del campo gravitatorio de una masa puntual

En cada punto P del espacio, se define la intensidad de campo gravitatorio creado por una masa puntual M en dicho punto P como la fuerza que actuaría sobre la unidad de masa que se situara en ese punto:

g = (G ⋅ M ⋅ -u_r) / r²

El campo gravitatorio creado por M tiene estas características:

• Es un campo vectorial y conservativo.
• Es un campo central (el signo menos nos indica que el campo gravitatorio va dirigido hacia la masa que crea el campo).
• Es directamente proporcional a la masa M que crea el campo.
• Es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa la masa puntual M del punto P en el que estamos calculando el valor del campo (disminuye con el cuadrado de la distancia a M).
• En el Sistema Internacional se mide en N/kg.
• La constante G es la constante de gravitación universal. Su valor es G = 6,67 ⋅ 10^-11 N ⋅ m²/kg^-2 y no depende del medio en el que nos encontremos.

Ejercicio 1

Dos partículas de masas m y 2m están separadas una cierta distancia. Explique qué fuerza actúa sobre cada una de ellas y cuál es la aceleración de dichas partículas.

Ambas partículas se atraen, según la ley de gravitación universal, con una fuerza:

F = G (m₁m₂) ⋅ -u_r / r²

Las dos fuerzas son iguales en módulo, de la misma dirección y de sentido contrario. Y para calcular la aceleración que sufre cada partícula utilizamos la segunda ley de Newton:

F₂₁ = m₁ ⋅ a₁ -> G ⋅ 2m / r²

F₁₂ = m₂ ⋅ a₂ -> G ⋅ m / r²

El resultado obtenido es lógico: aunque las fuerzas son iguales en módulo, la partícula 1, al tener la mitad de masa, sufre una aceleración doble que la partícula 2.

Ejercicio 2

Dibuje en un esquema las líneas del campo gravitatorio creado por una masa puntual M. Otra masa puntual m se traslada desde un punto A hasta otro B, más alejado de M. Razone si aumenta o disminuye su energía potencial.

Un campo vectorial se define mediante líneas de campo, que son líneas tangentes en cada punto a la magnitud vectorial que define el campo. Las líneas del campo gravitatorio creado por una masa M son las que aparecen en el dibujo:

• Su sentido de recorrido y el vector que representa el campo coinciden en cada punto.
• Son líneas abiertas.
• En cada punto de la línea el campo solo puede tener una dirección: las líneas de campo no se pueden cortar.
• La masa M es un sumidero de campo gravitatorio.
• Si el campo fuera uniforme, las líneas de campo serían rectas paralelas.
• En los puntos o zonas donde las líneas están más juntas o tienden a converger el campo es más intenso.

La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m en la posición A es el trabajo que realizaría la fuerza gravitatoria (debida al campo gravitatorio creado por M) al llevar el cuerpo desde A hasta aquel lugar en el que hemos situado el nivel 0 de energía potencial. Si elegimos este nivel 0 en el infinito, tenemos que:

E_P = -G ⋅ Mm / r

Por lo tanto, si nos alejamos de la masa que crea el campo, la energía potencial aumenta (en valor absoluto disminuye, pues dividimos entre un número mayor; pero como tiene signo negativo, debido a que hemos elegido el nivel 0 en el infinito, la energía potencial aumenta).

Ejercicio 3

Explique brevemente el concepto de potencial gravitatorio. Discuta si es posible que existan puntos en los que se anule el campo gravitatorio y no lo haga el potencial en el caso de dos masas puntuales iguales separadas una distancia d.

Debido a que el campo gravitatorio es conservativo, podemos definir la energía potencial que tiene un cuerpo en un determinado punto del espacio como el trabajo que haría la fuerza gravitatoria cuando llevamos dicho cuerpo desde el punto en que se encuentra hasta el nivel cero de energía potencial, que elegimos en el infinito.

Y definimos el potencial gravitatorio U creado por una masa M en un punto situado a una distancia r como la energía potencial gravitatoria que tendría la unidad de masa colocada en ese punto:

U = -G ⋅ M / r

Por lo tanto, el potencial creado por una masa es siempre negativo (esto es debido a que hemos elegido como nivel cero de energía potencial el infinito).

El potencial total creado en un punto del espacio por 2 masas será la suma algebraica de los potenciales creados por cada una de las masas individualmente, y como éstos son negativos, su suma no puede dar cero en ningún caso.

Así, el potencial gravitatorio total creado por una o varias masas no es nulo en ningún punto cercano a las masas (sí lo sería en el infinito).

Por otro lado, el campo gravitatorio creado por una masa m₁ a una distancia r viene dado por:

g = (G ⋅ m₁ ⋅ -u_r) / r²

Si tenemos varias masas, tenemos que el campo gravitatorio total que existirá en un punto cualquiera del espacio vendrá dado por la suma vectorial de los campos gravitatorios debidos a cada una de las masas.

Por ejemplo, en el caso de dos masa puntuales, existirá un punto en el que el campo gravitatorio total será nulo, pues en dicho punto los dos campos serán iguales en módulo y de sentido contrario. Por lo tanto, sí existen puntos en los que el campo gravitatorio es nulo y no lo es el potencial gravitatorio.

Ejercicio 4

Un campo uniforme es aquél cuya intensidad es la misma en todos los puntos. ¿Tiene el mismo valor su potencial en todos los puntos? Razone la respuesta.

Debemos estar trabajando con una fuerza conservativa, porque la energía potencial y el potencial sólo pueden definirse en el caso de que estemos trabajando con fuerzas conservativas; esto es, fuerzas que realizan el mismo trabajo al trasladar una partícula de un punto A a uno B independientemente del camino concreto que sigamos para ir de A a B. Así, el trabajo que realiza la fuerza conservativa dependerá sólo de la posición de A y de la posición de B, y se tiene que:

W = -ΔE_P

El potencial es el valor de la energía potencial por unidad de masa (o de carga…). Así, si consideramos una masa de 1 kg (o una carga de 1 C…), la expresión anterior se transforma en:

W = -ΔU (1)

Al tratarse de una fuerza conservativa, podemos elegir una trayectoria que nos lleve en línea recta de A a B, y puesto que el campo es uniforme (constante), utilizar:

W = F ⋅ Δr (2)

Por lo tanto, igualando las expresiones (1) y (2), para campos uniformes, se tiene que:

F ⋅ Δr = -ΔU

• Si Δr es perpendicular a F, esto es, si nos desplazamos perpendicularmente al campo, tendremos que F ⋅ Δr = 0, y por lo tanto, ΔU = 0. En este caso, el potencial se mantiene constante. Las superficies equipotenciales (formadas por los puntos de igual potencial) son perpendiculares al campo.
• En otro caso, si Δr no es perpendicular a F, esto es, si nos desplazamos en otra dirección, tendremos que F ⋅ Δr ≠ 0, y por lo tanto, ΔU ≠ 0. En este caso, el potencial variará.

Ejercicio 5

Una partícula de masa m se desplaza desde un punto A hasta otro punto B en una región en la que existe un campo gravitatorio creado por otra masa M. Si el valor del potencial gravitatorio en el punto B es mayor que en el punto A, razone si el desplazamiento de la partícula es espontáneo o no.

Debido a que el campo gravitatorio es conservativo, puede definirse el potencial gravitatorio U creado por una masa M en un punto situado a una distancia r como la energía potencial gravitatoria que tendría la unidad de masa colocada en ese punto:

U = -G ⋅ M / r

De acuerdo con la expresión anterior, el potencial gravitatorio tiene el mismo valor en todos los puntos que estén a la misma distancia de la masa puntual que crea el campo, las superficies equipotenciales son esféricas (en el plano son circunferencias) concéntricas y de valores crecientes para radios cada vez mayores.

Por lo tanto, si la partícula está moviéndose desde A hasta B, y el potencial en B es mayor que en A, la partícula se está alejando de la masa M que crea el campo gravitatorio (y el potencial).

Por lo tanto, concluimos que el movimiento no es espontáneo (debido a que el campo gravitatorio es atractivo).