1.1 Subespacio y Base

Dado un subespacio definido por el sistema de ecuaciones (x-y=0, y-z=0), encontrar una base y sus ecuaciones paramétricas.

Despejamos las variables y calculamos la dimensión como el número de variables menos el número de ecuaciones linealmente independientes. La dimensión es igual al número mínimo de parámetros necesarios. Obtenemos S(α, β, α), con α, β ∈ R, y definimos la base.

1.2 Aplicación Lineal y Matrices

Sea una aplicación lineal R² → R² con f(1,0) = (1,1) y f(0,1) = (0,-1). Expresar la matriz de la aplicación y su matriz semejante referida a una base de autovectores.

Construimos la matriz A con los resultados de cada f. Luego, resolvemos (1-λ)x = 0 para obtener autovalores y sus multiplicidades. Restamos el autovalor y encontramos los parámetros. Verificamos que la dimensión coincide con la multiplicidad. Si es diagonalizable, A = PDP^-1, donde P son las bases y D es la matriz diagonal con los autovalores.

1.3 Comportamiento y Tendencia de una Función

Dada la función f(x,y,z) = x² + 2y², estudiar su comportamiento y tendencia en el punto (1,-1,-1) en la dirección (1,1,-1).

Calculamos el gradiente ∇f(x,y,z) y lo evaluamos en el punto. Luego, calculamos la matriz Hessiana Hf(x,y,z) y la evaluamos en el punto. Calculamos f'(punto, dirección) = ∇f(punto) · dirección. Finalmente, calculamos f”(punto, dirección) para determinar si es convexa o cóncava.

1.4 Variedad Lineal y Dimensión

Dada la variedad lineal L[(1,0,1,0),(-3,1,-k,0)], estudiar la dimensión del subespacio según el valor de k y obtener la ecuación cartesiana para k=0.

Colocamos los vectores en columnas y calculamos el valor de k. Si k es igual al valor obtenido, el rango y la dimensión disminuyen. Si es distinto, el rango y la dimensión se mantienen. Para k=0, como t no aparece, hacemos t*A(). Ejemplo: -2t=0, quedando S:(x,y,z,t) ∈ R⁴ / -2t=0.

1.5 Endomorfismo Diagonalizable

Sea un endomorfismo diagonalizable f: R² → R² con f(v1) = v1 y f(v2) = 2v2, y sea x = 2v1 – 3v2. a) Encontrar las coordenadas de f(x) en la base B=(v1,v2). b) Si B=[(v1=(1,-2);v2=(0,1)], calcular A¹⁰⁰⁰, siendo A la matriz asociada a f en la base canónica.

a) f(x) = f(2v1 – 3v2) = 2f(v1) – 3f(v2). Sustituimos f(v1) y f(v2) y obtenemos las coordenadas en B. b) Si v1=(1,-2) y v2=(0,1), con autovalores 1 y 2, entonces A = PDP^-1, donde P son los vectores en columnas y D es la matriz diagonal con los autovalores.

1.6 Optimización de una Función

Optimizar la función f(x,y) = 4x³ + y³ – 12x – 3y + 27.

Calculamos las derivadas parciales con respecto a x e y, igualamos a cero y obtenemos los puntos críticos. Calculamos la matriz Hessiana Hf(x,y) y la evaluamos en cada punto crítico. Si a1 > 0 y a2 > 0, es un mínimo local; si a1 < 0 y a2 > 0, es un máximo local.

1.7 Subespacio Vectorial y Ecuaciones

Dado un subespacio vectorial y un sistema de ecuaciones donde una es [x1 – kx2 + x3], encontrar el valor de k para que la dimensión sea 1 y facilitar una base.

Sabemos que las ecuaciones cartesianas linealmente independientes son 2. Usamos la fórmula dim = n – nº ecuaciones cartesianas LI. Calculamos el valor de k en A(). Igualamos dos ecuaciones y obtenemos los parámetros. S:[(3α, α, α) α ∈ R] y damos valores para la base. La dimensión es el número de bases.

1.8 Coordenadas en una Base

En el espacio vectorial R³, dada la base B=[v1=e1-e2; v2=e2-e3; v3=e1-e2], encontrar las coordenadas del vector x = -2v1 + 2v2 + v3 en la base canónica E=[e1,e2,e3].

x*B = λ(1,0,0) + β(0,1,0) + ω(0,0,1).

1.9 Diagonalización de un Endomorfismo

Encontrar, si es posible, un cambio de base que diagonalice el endomorfismo R³ → R³ de un sistema de ecuaciones [y1 = x1 + x2, etc.].

Colocamos los coeficientes en filas en la matriz A. Calculamos autovalores y multiplicidades. Restamos el autovalor y obtenemos los valores de x e y. Calculamos los parámetros para saber la dimensión y comprobamos si es igual a la multiplicidad para ver si es diagonalizable.

1.10 Mínimo Local de una Función

Sea f: R² → R², de clase C², tal que en todo punto (x,y) se verifica: f'(v) = 2(x-ay)v1 + 2(y-ax)v2. Encontrar los valores del parámetro α ∈ R que hacen que el punto a=(0,0) sea un mínimo local.

f’x = (2x – 2ay). Sustituimos x por (0,0) y en 2(y-ax), dando cada una 0, por lo que (0,0) es un punto crítico. Calculamos la matriz Hessiana de 2x-2ay y del otro, obtenemos el valor de a1 y tenemos que conseguir el valor a2 para que cumpla la condición.

1.11 Coordenadas en una Base

Encontrar las coordenadas del vector x = e1 + 5e2 en la base B=[v1=2e1+e2; v2=e1+2e2], siendo E=[e1,e2] la base canónica de R².

x*(1,0) y (0,1) = λ*B.

1.12 Endomorfismo y Matriz Diagonal

Un endomorfismo R³ → R³ transforma los vectores de la base canónica en f(e1)=(1,0,0), etc. Expresar, si es posible, la relación entre la matriz asociada de f en la base canónica y su matriz diagonal semejante.

Colocamos todo en la matriz A. Calculamos autovalores y multiplicidades. Restamos el autovalor, despejamos las variables, obtenemos los parámetros y comprobamos la dimensión con la multiplicidad para determinar si es diagonalizable.

1.13 Comportamiento Decreciente Decelerado

La función f: R² → R, de clase C², es tal que ∇f = (2(x-ay), 2(y-ax)). Determinar los valores del parámetro α ∈ R que hacen que f presente un comportamiento decreciente decelerado en el punto (1,1) en la dirección (1,2).

Tenemos ∇f y calculamos Hf. Calculamos f’ = ∇f(enunciado) · dirección (vertical) y despejamos a. Luego, f” = dirección(horizontal) · Hf(punto) · dirección(vertical).

1.14 Subespacio y Ecuaciones Paramétricas

Dado un subespacio de R⁵ y un sistema de ecuaciones [x1 – x2 + x4], determinar su dimensión y una base, y escribir sus ecuaciones paramétricas.

Las variables que no aparecen son parámetros y el resto son 0. Dim = n – nº ecuaciones cartesianas LI. S:[(0,β,α,β) α ∈ R] y damos una base.

1.15 Subespacio y Sistema Generador

En R³, dado el subespacio de ecuación cartesiana x2 = x1, calcular su dimensión y proporcionar un sistema generador que no sea base. Facilitar las ecuaciones paramétricas de S.

Dim S = n – nº ecuaciones cartesianas LI. Como es R³, x3 no aparece, por lo que es un parámetro, y x2 y x1 son el mismo parámetro. Al ser la dimensión 2, damos 2 bases. S:[α, α, β) α, β ∈ R.

1.16 Matriz Diagonal Semejante

Encontrar, si es posible, una matriz diagonal semejante para el endomorfismo de R³: [y1 = x1 + 2×2 + x3].

Construimos la matriz A, restamos λ y calculamos autovalores y multiplicidades. Obtenemos los parámetros igualando las incógnitas y, en función de los parámetros, determinamos si es diagonalizable o no.

1.17 Coordenadas en una Base

Dado el vector (1,1,1), encontrar sus coordenadas en la base B=[(1,1,0), (0,0,1), (1,0,1)].

(1,1,1) = λ(1,1,0) + β(0,0,1) + β(1,0,1).

1.18 Cálculo con Matriz Diagonal Semejante

Utilizando la matriz diagonal semejante, calcular [0 -1 -1 0]¹⁰⁰⁰.

Calculamos autovalores (restando λ y despejando λ). Sustituimos λ y despejamos el resultado, obtenemos parámetros, dimensión y base. La base de autovalores es P(bases) * A¹⁰⁰⁰(autovalores diagonal) * P^-1.

1.19 Imagen de un Vector y Ecuaciones

El endomorfismo R³ → R es tal que f(e1) = e1 + e2 + e3, f(e2) = e2 + e3 y f(e3) = e3. a) Calcular la imagen del vector x en la base B=[(1,-1,0), (0,2,0), (-2,0,1)]. b) Obtener las ecuaciones de f referidas a la base B.

1.20 Criterios de Optimización

Criterios para determinar máximos, mínimos y puntos de silla:

Con 3 variables:

• a1 > 0, a2 > 0, a3 > 0: DP
• a1 > 0, a2 > 0, a3 = 0: SDP
• a1 < 0, a2 < 0, a3 < 0: DN
• a1 < 0, a2 = 0, a3 = 0: DP
• Otro: Indefinido

Con 2 variables:

• a1 > 0, a2 > 0: DP (MIN)
• a1 > 0, a2 = 0: SDP
• a1 < 0, a2 < 0: DN (MAX)
• a1 < 0, a2 = 0: SDP
• Otro: Indefinido (Punto Silla)

-λ³ + traza λ² – (A11 + a22 + a33) * λ + |A|

F’ > 0: Creciente; F” > 0: Aceleradamente, sino deceleradamente

F’ < 0: Decreciente; F” > 0: Decrece deceleradamente, sino aceleradamente

F’ = 0: Estacionario; F” > 0: Convexo, sino cóncavo, y si es = 0, ni cóncavo ni convexo

GAMMA

∫x^p-1 * (e^-x) dx = ∏(p)

∫x^p-1 * (e^-ax) dx = ∏(p) / a^p

∫x^2p-1 * (e^-ax2) dx = 1/2 * (∏(p) / a^p)