Análisis de la Producción y Distribución de Bombones: Un Estudio de Calidad
Una empresa dedicada a la producción y venta de bombones decide realizar un estudio sobre la calidad de sus cajas de bombones de 300 gr y de su proceso de producción y reparto.
Control de Peso
Uno de los elementos considerados en el estudio es el cumplimiento de un “peso mínimo de las cajas de bombones envasadas”.
Probabilidad de Cumplimiento del Requisito de Peso
a) Sabiendo que el peso de las cajas de bombones se distribuye uniformemente entre 298 y 323 gr y que la empresa considera que una caja de bombones no cumple el requisito de peso si ésta no alcanza los 299 gr ¿Qué porcentaje de las cajas producidas cumplen el requisito de peso? (1)
Nos dicen que se supone que la variable sigue una Distribución Uniforme:
W: peso de la caja de bombones envasados ~ U[298,323]
Caja cumple requisito de peso si W ≥ 299
a) P(W<299) = = =
P(W<299) = (x-a/b-a)=299-298/323-298)=0,04 ⇒ P(W>299)=1 – P(W<299) = 0.96
Probabilidad de Encontrar Cajas con Peso Deficiente en Embalajes
b) Si el proceso de distribución de las cajas de bombones a los centros comerciales se hace por medio de embalajes que contienen de 180 cajas: ¿Cuál es la probabilidad de encontrar más de 8 cajas que no cumplan el requisito de peso en uno de los embalajes?
Sea la variable
D: número de cajas defectuosas en 180 cajas que forman un envío
D~Bi(n=180; P=0.04) …
P(D>8) = 1- P(D≤8) con binomial entrar 9 veces en función probabilidad de la binomial.
Dado que p es pequeña 0.04 y N relativamente grande 180 se podría aproximar a POISSON
Donde D≈ Poisson (λ = 0.04*180=7.2)
P(D>8)= 1-P(D≤8) = 1- Lectura de tabla de Poisson = 1-0.7027 = 0.2973
Control de Contenido Graso
c) El departamento de calidad ha procedido también a evaluar el contenido graso de los bombones. El objetivo marcado para el producto fabricado es que éste tenga un contenido graso inferior al 33%. Si se sabe que en una cierta remesa el 5% de los bombones superan dicho límite de contenido graso ¿cuál es la probabilidad de que el técnico de calidad escoja 10 bombones al azar y encuentre más de uno cuyo contenido graso supere el límite?
X: número de bombones de una serie de 10 que incumplen el límite de
contenido graso ~ Bi(n=10, p=0.05)…
P(X>1) = 1- P(X=0)-P(X=1) = 1- 0.5987-0.3151 = 0.0861….
P (X=0)= (10 0)p^0(1-p)^10-0=(1-0,05)^10= 0.5987….
P (X=1) =(10 1) p^1(1-p)^10-1=10·(0.05)·(1-0.05)^9 = 0.3151
Mantenimiento del Dosificador
d) Un último aspecto considerado es el de la posible necesidad de una operación de mantenimiento en el dosificador de materias primas. Sabiendo que este lleva funcionando 1500 horas correctamente desde la última operación de mantenimiento y que el tiempo de buen funcionamiento de un dosificador tras cada operación de mantenimiento sigue una distribución exponencial de media 2000 horas: ¿Cuál es la probabilidad de que se necesite una operación de mantenimiento antes de las próximas 500 horas?
T: tiempo de buen funcionamiento de un dosificador tras cada operación de mantenimiento ~ Exponencial (α =1/m=1/2000)
La variable exponencial no tiene memoria por tanto nos piden calcular
P T<500 =1-e-α 500=1-e-0.25=0.2211
Análisis de Correlación
Analizar de forma crítica la siguiente afirmación: “El coeficiente de correlación entre las estaturas de los alumnos y las estaturas de las alumnas de una determinada universidad es 0,70”.
No es una afirmación correcta puesto que no puede existir correlación entre dos variables que se han medido en poblaciones distintas, la de los alumnos y la de las alumnas, no siendo pues las dos componentes de una variable aleatoria bidimensional.
Análisis de Empleados por Grupo de Edad y Titulación
En el departamento de recursos humanos de una gran empresa han clasificado a sus empleados por grupos de edad: 220 empleados están en el G1 (entre 18 y 30 años), 150 en el G2 (entre 31 y 55 años) y 50 en el G3 (más de 55 años). En el G1, un 20% tiene titulación superior, mientras que en el G2, ese porcentaje es del 15%. Del G3, solo 1 empleado tiene titulación superior.
Probabilidad de Pertenecer al Grupo 3 y No Tener Titulación Superior
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar un empleado al azar sea del grupo 3 y no tenga titulación superior? (40%)
Porcentaje de Empleados con Titulación Superior
b) ¿Qué porcentaje de empleados tienen titulación superior? (30%)
Probabilidad de Ser Menor de 30 Años Dado que es Ingeniero
c) Acabo de recibir un correo electrónico de un empleado de esta empresa que dice ser ingeniero. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga menos de 30 años?
P(G1) = 220/(220+150+50) = 0.52; P(G2) = 150/420 = 0.36; P(G3) = 50/420 = 0.12….
P(TS|G1) = 0.2; P(TS|G2) = 0.15; P(TS|G1) = 0.02 ….
1. P(G3 ∩ noTS) = P(noTS | G3) x P(G3) = (1-0.02) x 0.12 = 0.1176….
2. Por el Teorema de la Probabilidad Total:
P(TS) = P(TS|G1)xP(G1) + P(TS|G2)xP(G2) + P(TS|G3)xP(G3) = 0.1604 …….
3. Por el Teorema de Bayes: ……
P(G1|TS) = P(TS|G1)xP(G1) / P(TS) = 0.6484
Cálculo de Beneficio Medio en la Producción de Botes
Una máquina envasadora produce un 20% de botes defectuosos (no cumplen las especificaciones marcadas por el cliente). El coste es de 5€ por unidad y el precio de venta de 10€. Por cada bote defectuoso, se debe devolver al cliente lo cobrado y pagar un recargo de 1€. Calcular el beneficio medio por bote si se venden al cliente todos los botes envasados por dicha máquina sin inspeccionarlos previamente.
Definimos X=0 si el bote es correcto y X=1 si el bote es defectuoso. P(X=1)=0.2 y P(X=0)=0.8……
h(X) = -5 + 10 = 5 si X=0 …
h(X) = -5 + 10 -10 -1 = -6 si X=1……….
E(h(X)) = h(0)P(X=0) + h(1)P(X=1) = 5 x 0.8 + (-6) x 0.2 = 2.8 € sería el beneficio medio por bote
Cálculo de Fiabilidad de un Dispositivo
Se sabe que las componentes A, B, C, D y E son independientes y que sus tiempos de vida (medidos en días) siguen una distribución exponencial. De cada una de estas componentes se dispone de la siguiente información:
P(A > 10) = 0.95; P(B > 10) = 0.98; P(C > 10) = 0.87; P(E > 10) = 0.90 …
La duración media de la componente D es de 61.53 días.
Calcular la fiabilidad del dispositivo a los 10 días de funcionamiento….
Para calcular P(D > 10), necesitamos calcular . Sabemos E(X) = 61.53 = 1/. Por tanto =1/61.53=0.016. Ahora P(D > 10) = e-0,016x10 = 0.85.
Entenderemos en adelante que P(A) = P(A>10) (y lo mismo para el resto de componentes). Denotaremos por S al dispositivo completo, por S1 al primer grupo en paralelo y S2 al segundo grupo. Así, la probabilidad de que el dispositivo funcione a los 10 días es:
P(S) = P(S1 ∩ S2) = P(S1) x P(S2) = 0.99987 x 0.985 = 0.9849….
P(S1) = 1 – P(noS1) = 1 – P(noA ∩ noB ∩ noC) = 1 – P(noA) x P(noB) x P(noC) = = 1 – (1-0.95)x(1-0.98)x(1-0.87) = 0.99987 ……
P(S2) = 1 – P(noS2) = 1 – P(noD ∩ noE) = 1 – P(noD) x P(noE) = 1 – (1-0.85)x(1-0.90) = 0.985
Control de Calidad de Crema de Verduras
En una empresa alimenticia producen crema de verduras envasada en recipientes de 300 ml. El departamento de control de calidad realiza una inspección que consiste en contar el número de grumos en la crema contenida en cada envase.
Se ha estimado que el porcentaje de envases con algún grumo, es decir defectuoso, es del 10%.
Probabilidad de Encontrar Envases Defectuosos en una Caja
a) Una caja contiene 20 de estos envases. ¿Cuál es la probabilidad de que en una caja haya más de 1 envase defectuoso? (30%)
Promedio de Grumos por Envase
b) ¿Cuál es el promedio de la variable grumos por envase si el porcentaje de envases con algún grumo sabemos que es del 10%? (30%)
Probabilidad de Superar un Número de Grumos en una Caja
c) Si la cantidad media de grumos de un nuevo tipo de crema de verduras que quiere lanzar al mercado es de 0.12 ¿Cuál es la probabilidad de que el total de grumos en los 20 envases que contendrán las cajas del nuevo tipo sea mayor que 3?
a) X = número de envases defectuosos en una caja; X ~ Bi(n=20, p=0.1)….
P(X > 1) = 1 – P(X 1) = 1 – P(X=0) – P(X=1) = 1 – 0.1216 – 0.2702 = 0.6082
b) Y = número de grumos por envase; Y ~ Po(y); P(Y > 0) = 0.1…..
P(Y > 0) = 1 – P(Y 0) = 1 – P(Y = 0) P(Y = 0) = 0.9 = e-y y0 / 0! = e-y y = 0.11 ….
El promedio es E(Y) = y = 0.11
c) Z = número total de grumos por caja = Z1 + Z2 + … + Z20 …..
Por ser suma de variables Poisson independientes, Z ~ Po (z = 20 x 0.12 = 2.4)…..
P(Z > 3) = 1 – P(Z 3) = 1 – 0.7787 = 0.2213