FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las funciones  y = sin x,  y = cos x,  y = tg x

  Conviene que comencemos repasando la noción trigonométrica de seno, coseno y tangente de un ángulo.

   Sea un triangulo rectángulo, como el del gráfico presente, siendo los catetos los lados “a” y “b”, y la hipotenusa el lado mayor (opuesto al ángulo recto) “c”. Las relaciones entre los catetos y la hipotenusa se llaman seno, coseno y tangente, es decir:

    El seno (sin ó sen) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. 
    El coseno (cos) es el cociente entre el cateto adjunto al ángulo y la hipotenusa. 
    La  tangente (tg ó tan) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. 
    La tangente puede considerarse también como el cociente del seno entre coseno.

Algunas observaciones y propiedades

  –  En Cálculo los ángulos suelen expresarse en radianes más bien que en grados. Siga el enlace si no domina bien el concepto de “radian“.

  –  Como c > a  y también c > b, se tiene que el seno y el coseno no pueden supera al valor 1; cosa que no sucede con la tangente. Por otra parte, lo valores de a y b pueden ser positivos o negativos:

   En la figura 1, tanto “a” como “b” son positivos (“a” se halla a la derecha, “b” está arriba). En la figura 2, “a” es positivo, y “b” es negativo.
En la figura 3, ambos son negativos. En la figura 4, “a” es negativo y “b” positivo.

  – Por tanto, los valores de seno, coseno y tangente de un cierto ángulo pueden ser positivos o negativos. Para el caso del seno y coseno estos valores están comprendidos entre -1 y +1. Por contra, la tangente de un ángulo puede tener cualquier valor.

  – Para cualquier ángulo se cumple la relación fundamental:

 lo cual nos permite obtener otras relaciones entre ellos, tales como:

  – La circunferencia trigonométrica. Se trata de una circunferencia de radio R = 1 que permite establecer relaciones entre seno y coseno de un determinado ángulo, o entre estos y la tangente. Seguir el vínculo para conocer más sobre esta circunferencia.

*  La función seno

   Por  y = sin x(o castellanizado y = sen x) se entiende la función con valores de x comprendidos entre – y  + ,  teniendo como imágenes el seno del ángulo x radianes. Teñíéndose en cuenta que si  x es superior a 2 (360 grados) se considera un ángulo superior a una vuelta – imagínese un punto dando vueltas a una circunferencia, que no se detiene al llegar al punto de partida.

   Por otra parte, se considera a  x positivo cuando partiendo de las “3 horas” -siga imaginando el punto dando vueltas como si fuera un reloj- ha girado en sentido contrario al normal del reloj, y se considera a  x negativo cuando partiendo de esa misma posición hubiera girado en sentido del reloj.

  En la figura 1 vemos un ángulo positivo de x radianes,  mientras que en la figura 2 se trata de una ángulo negativo de x radianes. Por ejemplo el x de las figuras de arriba podría ser un radian, por supuesto en Matemáticas se considera que:

  1 + 2equivale a  1 radian,  1  + 4 equivale a  1,   1 +  6 equivale a  1, …..
  2– 1 equivale a – 1,   4– 1 equivale a   -1,     6– 1 equivale a  -1, …..

  En definitiva,  x + 2 k  (siendo k un número entero) es equivalente a x, y por tanto se tiene que:  sin x = sin (x + 2 k ) .

   * Gráfica de la función  y = sin x.

  Observe cómo la función  y = sin x es positiva en el intervalo [0, ], y es negativa en el intervalo [, 2],  asimismo se anula en los puntos x=0,  x=, x=2.

*  La función coseno

   Por  y = cos xse entiende la función con valores de x comprendidos entre – y  + ,  teniendo como imágenes el coseno del ángulo x radianes. También hay que tener en cuenta que si  x es superior a 2 (360 grados) es considerado un ángulo superior a una vuelta, como hemos dicho anteriormente para el caso del seno.

  * Gráfica de la función  y = cos x.

 Observe cómo la función  y = cos x es positiva en los intervalos [0, /2] y [3 /2, 2 ], y es negativa en el intervalo [/2,  3/2],  asimismo se anula en los puntos  x=/2, x=3/2.

*  La función tangente

   Por  y = tg x(también denotado tan x) se entiende la función con valores de x comprendidos entre – y  + ,  teniendo como imágenes la tangente del ángulo xradianes. No obstante, esta función no posee imágenes (tiene discontinuidades) en los puntos   x = k /2, para k entero (positivo o negativo).

  * Gráfica de la función  y = tg x.

 Observe cómo la función  y = tg x es positiva en el intervalo [0, /2], y es negativa en el intervalo [-/2, 0],  se anula en los puntos x=0,  x=, x=2… (al igual que el seno). En los punto x = k /2 tiene un tipo específico de discontinuidad: tendiendo hacia – por la derecha de ellos, y tendiendo hacia + por la izquierda.