Raíces de números complejos ejercicios resueltos

Ecuación de tercer grado

Gráfica de una función cúbica.

Una ecuación de tercer grado o ecuación cúbica con una incógnita es una ecuación algebraica de grado tres¹ que se puede poner bajo la forma canónica:

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \,$ ,

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un cuerpo, el cuerpo de los números reales o el de los números complejos, aunque con frecuencia son números racionales.²

Índice

Función cúbica

Gráfico de la función cúbica y = 1/4·(x+4)·(x+1)·(x-2) en el plano cartesiano. Las raíces son los lugares donde la curva cruza el eje x (y = 0), esto es: x1 = -4, x2 = -1 y x3 = 2.

La función cúbica es una función polínómica de tercer grado. Tiene la forma:

donde el coeficiente a es distinto de 0.

Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los números reales.

La derivada de una función cúbica genera una función cuadrática y su integral una función cuártica.

Ecuación cúbica

La ecuación cúbica es la ecuación que resulta de igualar a cero la función cúbica, y tiene la forma canónica:

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un campo, usualmente el campo de los números reales o el de los números complejos.

Discriminante

Resulta importante y a la vez esencial obtener propiedades elementales de los polinomios como herramientas de análisis en los resultados según los valores de sus coeficientes. Cualquier ecuación cúbica (1) con coeficientes reales tiene al menos una solución x sobre los números reales; esta es una consecuencia del teorema del valor intermedio. Se pueden distinguir varios posibles casos, usando para ello el discriminante,

Los siguientes casos necesitan ser considerados: ³

Si Δ
Si Δ = 0, entonces la ecuación tiene raíces múltiples y todas sus raíces son reales (puede ser una raíz triple o una doble y otra simple).
Si Δ > 0, entonces la ecuación tiene tres distintas raíces reales.

El caso real

Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentran en C, extensión algebraica cerrada de R.
La distinción aparece cuando se calcula el discriminante de la ecuación. Se puede notar que siempre hay por lo menos una solución real, independientemente de que el discriminante Δ sea mayor, menor o igual a cero. Es debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en +∞ y -∞ y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. Como son funciones continuas, tienen que pasar por cero, por el teorema de los valores intermedios.

También es posible resolverla con el método de Newton-Raphson, ya que se sabe que al menos habrá una solución real.

Raíces reales de la ecuación cúbica

Partiendo de la ecuación canónica

dividiendo entre a y haciendo una transformación de Tschirnhaus (sustituyendo $x = z-\tfrac{b}{3a}$ ) se elimina de la forma normal el término cuadrático y se obtiene la forma reducida:

con lo cual,

Se demuestra que el número de raíces reales depende del discriminante de la ecuación auxiliar $\Delta = (-4p^3 - 27q^2)\,$ .⁴ La ecuación cúbica incompleta $z^3+pz+q=0 \,$ posee tres raíces reales cuando el discriminante $\Delta>0 \,$ , pero donde $p<0 \,$ y $q \,$ posee cualquier valor y signo. Tales raíces se calculan como

$z_{k+1}=\pm2 \sqrt{\frac{-p}{3}}\cos\left(\frac{\Phi}{3}+120k\right)$ , para $k = 0, 1, 2 \,$

donde el signo positivo se usa si $q\leq0 \,$ y el signo negativo se usa si $q>0 \,$ . Mientras que $\Phi \,$ está dada por

De modo que si queremos calcular las tres raíces de la ecuación cúbica completa $ax^3+bx^2+cx+d=0 \,$ , entonces podemos obtenerlas fácilmente como

$x_{k}=z_{k}-\frac{b}{3a}$ , para $k = 0, 1, 2 \,$

Raíces múltiples

En cualquier ecuación cúbica es posible que se presenten raíces múltiples, es decir, raíces de multiplicidad dos y tres, esto es, que dos o tres de las raíces sean iguales entre sí. Las raíces de multiplicidad unitaria ya fueron descritas antes, ahora la raíz doble se puede presentar si y sólo si se cumple la condición de que

y las raíces de la ecuación cúbica incompleta serán

mientras que las raíces triples se presentan cuando se cumpla la condición de que

con lo que las raíces de la ecuación cúbica completa se calcularán fácilmente como

El caso general

Sea $K \,$ un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces, propiedad que hará posible resolver la ecuación.

En un cuerpo algebraicamente cerrado se sabe que todo polinomio de tercer grado (o ecuación cúbica) tiene tres raíces. Este es el caso, por ejemplo, del cuerpo de los números complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.

La solución de la ecuación algebraica cúbica fue dada por primera vez en el libro Ars Magna (del latín, que significa ‘Gran Arte’ o ‘Arte Magno’) por el matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576) que publicó en el año de 1545, razón por la cual se le llama método de Cardano.

Fórmula general

Artículo principal: Método de Cardano

Dada la ecuación cúbica

Se calculan las siguientes cantidades:

En ese caso las tres raíces se pueden escribir simplemente como:

(*) $\begin{cases} x_1 = S_1 + S_2 - \cfrac{a_1}{3} \\ x_2 = -\cfrac{S_1+S_2}{2} - \cfrac{a_1}{3} + \cfrac{i\sqrt{3}}{2}(S_1-S_2) \\ x_3 = -\cfrac{S_1+S_2}{2} - \cfrac{a_1}{3} - \cfrac{i\sqrt{3}}{2}(S_1-S_2) \end{cases}$

Al ser el discriminante D = Q^3+ R^2 se tiene:

I) una de las raíces es real y dos de ellas son complejas si D > 0

ii) todas las raíces son reales y al menos dos son iguales si D = 0.

iii) todas las raíces son reales y distintas si D

En este último caso el cálculo de las raíces se simplifica un poco si se reescriben las soluciones (*) mediante fórmulas trigonométricas:

donde:⁵

Ejemplos

Ejemplo 1

Sea la ecuación cúbica $2t^3 + 6t^2 + 12t + 10 = 0 \,$ , Se procederá a resolverla, para ello, se siguen los siguientes pasos.

$t^3 + 3t^2 + 6t + 5 = 0 \,$ (al dividir por 2)
Con x = t + 1, es decir t = x – 1, reemplazando:

$(x - 1)^3 + 3(x - 1)^2 + 6(x - 1) + 5 = 0 \,$ , y desarrollando, se obtiene la ecuación en forma reducida $x^3 + 3x + 1 = 0 \,$ .

x = u + v, U = u³, V = v³ y se impone U + V = – 1 y UV = – 1. U y V son las raíces de X² + X – 1 = 0.
Se despeja U, V y t.

$U = \frac {-1 - \sqrt {5}} {2} \,$ y $V = \frac {-1 + \sqrt {5}} {2} \,$ , luego $u = \sqrt[3]{\frac {-1 - \sqrt {5}} {2}} \,$ y $v = \sqrt[3]{\frac {-1 + \sqrt {5}} {2}} \,$ .

Por lo tanto

Ejemplo 2

Este ejemplo es histórico porque fue el que tomó Rafael Bombelli quien fue, con Cardano, el primero en resolver ecuaciones del tercer y cuarto grado por el método ya expuesto (en la Italia del Renacimiento, en pleno Siglo XVI).

La ecuación dada es x³ – 15x – 4 = 0.

Estudiando la función x → x³ – 15x – 4 o calculando el discriminante Δ = 13068 > 0, se puede comprobar que esta ecuación tiene tres raíces reales. Por lo tanto debería ser más fácil que en el primer ejemplo encontrar una.

Puesto que está en forma reducida se sustituye x = u + v, U = u³, V = v³.

U + V = 4 y UV = 125.

U y V son las raíces de X² – 4X + 125 = 0, ecuación de segundo grado cuyo discriminante es negativo. Por lo tanto no tiene raíces reales. Este método nos permite encontrar las raíces, todas reales, pasando obligatoriamente por los números complejos.

Esta constatación fue un argumento a favor de los complejos: son herramientas imprescindibles para resolver ecuaciones, aunque sólo tengan soluciones reales.

Hallamos U = 2 – 11·i y V = 2 + 11·i. Extraer raíces cúbicas en los complejos no es lo mismo que en los reales. Hay dos métodos: uno geométrico, que utiliza el argumento y el módulo (se divide el argumento por tres, y se toma la raíz cúbica del módulo), y otro algebraico, que emplea las partes real e imaginaria:

Escríbase u = a + bi. Entonces u³ = 2 – 11i equivale al sistema:

a³ – 3ab² = 2 (parte real)

3a²b – b³ = – 11 (parte imaginaria)

a² + b² = 5 (módulo)

Se obtiene a = 2 y b = -1, o sea u = 2 – i, y v es su conjugado: v = 2 + i.

En conclusión, x₀ = u + v = (2 – i) + (2 + i) = 4, lo que se verifica de inmediato.

Las otras raíces son:

x₁ = ω(2 – i) + ω(2 + i) = – 2 + √3

x₂ = ω²(2 – i) + ω²(2 + i) = – 2 – √3,

donde ω es igual a -1/2 + √3/2i y ω es igual a -1/2 – √3/2i.

Cuando Δ es negativo, U y V son conjugados, y por lo tanto también lo son u y v (con tal de bien escoger la raíz cúbica, recordando que uv = –p/3); así estamos seguros de obtener un x real, y de hecho también x₁ y x₂.

Nota: Toda ecuación cúbica completa tiene otra equivalente incompleta o completa condicionada (familia de cúbicas), que se puede observar mediante el cambio de variable x=z+k. Con esto podemos encontrar otra fórmula general para las ecuaciones cúbicas, diferente a las fórmulas de Cardano o Tartaglia.

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